Reducción y Ajuste por Mínimos Cuadrados de Distancias Aplicando el Análisis Vectorial

Entre las atribuciones del Instituto de Catastro del Estado de Puebla, se encuentra la de realizar levantamientos topográficos y geodésicos de predios rústicos y urbanos en el Estado de Puebla, con el propósito de ligar las observaciones a la Red Geodésica Estatal para alcanzar la precisión necesaria en la georreferenciación de los predios medidos.

Se ha observado que en algunos casos, se tienen variaciones sobre la cartografía al ubicar los predios medidos en campo, y que pueden ser resultado de observaciones de campo deficientes ó de inconsistencias en la misma cartografía. Esta problemática dio origen a un estudio para analizar el status de la cartografía. Este consiste básicamente en comparar las coordenadas de los puntos determinados por métodos satelitales (GPS), con las coordenadas de los correspondientes puntos de la cartografía.

Debido a que no es posible colocar un equipo con tecnología satelital en los vértices que conforman los predios y que las construcciones impiden la recepción de las señales electromagnéticas de los satélites, se propone como solución el método de resección de distancias.

El Teorema de Taylor lineariza las funciones no – lineales que se presentan en el método de resección, induciendo a un modelo matemático de mínimos cuadrados, que para su solución requiere de la posición del punto en primera aproximación . Con base en lo anterior, la Tesis que se presenta en este documento, consiste en aplicar el producto escalar de vectores para establecer esta aproximación, lo cual nos ha permitido la convergencia de las distancias, en una sola iteración. El principio de este método tiene su fundamento teórico en el producto escalar de vectores unitarios a lo largo de las distancias entre los vértices con posición conocida y los vértices cuyas coordenadas son desconocidas.

Es importante mencionar que el ajuste se realiza sobre la Proyección Cartográfica UTM, lo cuál implica, que las distancias medidas sobre la superficie terrestre, deben ser reducidas a esta proyección, antes de aplicarse el modelo matemático de Mínimos Cuadrados. En Geodesia se ha adoptado al elipsoide como la figura geométrica que describe la forma de la Tierra desde un punto de vista matemático.

II . Planteamiento Conceptual

El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente.

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El radio de curvatura de una función en una vecindad de algún punto contenido en ella, se define como el radio del círculo osculador que toca al punto; y debido a las características geométricas del elipsoide, para cada punto en la superficie de esta figura, se tiene un número infinito de radios de curvatura, sin embargo, para propósitos Geodésicos se consideran únicamente los radios de curvatura máximo y mínimo, y que se conocen como radio de curvatura en el primer vertical ( N ) y en el meridiano ( M ) respectivamente. Estos radios de curvatura nos permiten reducir las distancias medidas en campo, a las distancias de cuerda en el elipsoide, y para lo cual se re -quieren las alturas geodésicas ( elipsoidales ) de ambos puntos, y un radio terrestre promedio que este en función de ambos radios, para éste propósito se considera al Radio Medio Gaussiano.

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Fuente:

Mario Alberto Cruz Díaz – Instituto de Catastro del Estado de Puebla (México)

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