Parámetros de Transformación entre Sistemas de Referencia Geodésicos y Cartográficos

Para Aplicaciones del Ministerio de Bienes Nacionales

A partir de la adopción oficial del Sistema SIRGAS (equivalente en la práctica a WGS84), como sistema de referencia geodésico oficial para Chile, la División de Catastro del Ministerio de Bienes Nacionales (MBN) requiere migrar coberturas cartográficas incorporadas en los Sistemas de Información Geográfica (SIG) a SIRGAS (WGS84), referidas originalmente a los sistemas clásicos PSAD56 y SAD69. De lo anterior nace la necesidad de contar con parámetros de transformación entre sistemas, con precisión aplicable a cartografía en escalas grandes.
El propósito de este trabajo es exponer la metodología, aplicación y resultados obtenidos de la estimación de Parámetros de Transformación (PT), mediante técnica de Mínimos Cuadrados, de un área piloto en la zona norte de Chile, cubriendo extensiones de hasta 900km en sentido nortesur, a partir de coordenadas de vértices referidos a distintos sistemas de referencia, los que constituyen la base geodésica de la cartografía del MBN.

Introducción

El advenimiento del nuevo marco de referencia Geodésico Nacional SIRGAS, viene a ser una pausa que permite a primera vista, prescindir de las Transformaciones de Datum, con los Datum Geodésicos Clásicos como PSAD56 o SAD69. Esto debido a que las mediciones directas de campo a través de los instrumentales y técnicas GPS, y posteriores pos procesos y Ajustes, deben ser consideradas como nativas de SIRGAS, aún cuando en estricto rigor WGS84 y SIRGAS son distintos, sin embargo en términos prácticos coincidentes dentro de pocos centímetros.
Resulta evidente que el paso y utilización de un nuevo marco de referencia no será instantáneo, sino que un proceso que debiera mantenerse por algún tiempo, demandando necesariamente el trabajo de establecer la adecuada migración desde y hacia los Datum clásicos con SIRGAS, de los distintos productos cartográficos y topográficos ya Georreferenciados en PSAD56 o SAD69 tanto por organismos públicos como privados.

Objetivos

El presente estudio tiene como Objetivos Generales:

  • Establecer en el área Piloto de Estudio, correspondiente a las I y II Regiones de Chile, parámetros de transformación de Datum entre PSAD56 y SIRGAS, para aplicaciones de la División de Catastro del Ministerio de Bienes Nacionales.

  • Determinar la extensión territorial adecuada de aplicación, versus precisiones de los parámetros de transformación y sus residuos resultantes.
Objetivos específicos:
  • Comparar los residuales de los parámetros para distintos métodos de transformación para distintas extensiones territoriales, entre los distintos modelos a ser considerados.

  • Establecer Procedimientos según la precisión y aplicación requerida, sea ella orientada a las coberturas Cartográficas o Levantamientos Topográficos.
Precisiones Requeridas

El actual manejo digital a través de los SIG y CAD de la información territorial, a significado variar el concepto clásico de la escala como algo fijo y supeditado al papel, a uno dinámico y multiescalar. Visto así, y más allá de la precisión propia de origen que tengan los diversos productos cartográficos y topográficos, se busca a través de la Transformación con Parámetros entre Sistemas clásicos y SIRGAS, reemplazar la necesidad de las operaciones de campo por operaciones de gabinete equivalentes en precisión, consecuentemente se requiere de parámetros con precisiones submétricas y decimétricas. Para efectos de este estudio, se han clasificado las precisiones residuales para los parámetros de transformación, bajo las siguientes categorías:

Categoría
Precisión Residual
Origen
Aplicación
Métrica
5 m
IGM
Cartografía regular a escalas 1:25.000 a 1:250.000
Métrica-
Submétrica
0.5 a 2 m
MBN
Cartografía y Planos Rurales a escalas 1:25.000 a
1:10.000
Decimétrica
menor que 0.5 m
MBN
Todos los Planos urbanos y/o Rurales a escalas
mayores a 1:10.000
AREA DE ESTUDIO

El área de estudio corresponde a la zona norte de Chile, aproximadamente la I y II Región, que comprende una extensión en sentido norte – sur de 970 km, en ella se distribuyen 36 vértices que disponen de coordenadas SIRGAS y PSAD56 (15 de Primer, 10 de Segundo y 11 de Tercer Orden, en el caso de las coordenadas en PSAD56). La figura Nº 1 ilustra la distribución geográfica de los vértices y las sub áreas de estudio R1 y R2 y R2N.

c0033
Figura Nº 1: Distribución de Vértices

Tabla Nº 1: Orden de los vértices utilizados

Vértice Nº
Orden
Vértice Nº
Orden
Vértice Nº
Orden
1
3
21
3
33
1
2
3
22
1
34
3
3
1
23
3
35
2
7
1
24
2
36
1
11
2
25
1
37
3
12
2
26
3
38
1
15
1
27
1
39
3
16
3
28
1
40
2
17
2
29
3
54
2
18
2
30
3
55
1
19
1
31
1
56
2
20
2
32
1
57
1
Estimación de los Parametros

La estimación de Parámetros de Transformación, requiere de una muestra de vértices con coordenadas referidas a ambos sistemas, de tal forma que permitan tener suficientes grados de libertad, y de esa forma posibilitar le estimación mediante Mínimos Cuadrados. La relación espacial entre sistemas de referencia tridimensionales (3D) puede ser modelada por 7 parámetros (3 rotaciones, 3 traslaciones y 1 factor de escala) o por solamente 3 traslaciones, en el caso más simplificado. Por otro lado, sistemas bidimensionales (2D), por ejemplo sistemas proyectivos cartográficos UTM, pueden ser modelados por 4 parámetros (2 traslaciones, 1 rotación y 1 factor de escala) (Rapp, 1980; Blachut, 1979).
El datum vertical es de origen físico (alturas ortométricas), mientras que las coordenadas de los sistemas clásicos PSAD56 y SAD69, latitud y longitud geodésicas, son de origen elipsoidal, en consecuencia geométricamente distintos, de esa forma las coordenadas cartesianas referidas al sistema PSAD56 pueden ser determinadas asumiendo la altura elipsoidal igual a la ortométrica, resultando un sistema tridimensional con restricción . Según lo discutido en [Anciãs, 2003] ello no propaga su incertidumbre en las componentes horizontales.
El siguiente esquema ilustra la relación entre la naturaleza de las coordenadas y los modelos de transformación asociados.

c0034
Figura Nº 2: Relación de modelos de transformación y coordenadas
Modelos de Transformación
Modelo de Bursa-Wolf

Modelo de discutido por Bursa (1962) y Wolf (1963) relaciona dos sistemas tridimensionales de coordenadas cartesianas mediante 7 parámetros de transformación, tres traslaciones, justificadas por los diferentes orígenes de los sistemas (TX, TY, TZ), tres rotaciones, que expresan la falta de paralelismo entre los ejes (Rx, Ry, Rz) y un factor de escala que permite homogenizar las relaciones métricas de los sistemas (K) (Pearse, 1999).

c0035

Se expresa de la siguiente forma:

c0036
Modelo Molodensky-Badekas

Modelo discutido por Molodensky (1962) y Badekas (1969), relaciona dos sistemas tridimensionales de coordenadas cartesianas, al igual que Bursa-Wolf, mediante 7 parámetros de transformación pero se diferencia es la estimación de un centroide o punto fundamental, por lo cual este modelo requiere, además de contar con los 7 parámetros de transformación, con los valores de las coordenadas del centroide (Xm, Ym, Zm), que en forma práctica suman 10 parámetros.

De acuerdo a Krakiwsky y Thomson (1974), el Modelo Molodesnky-Badekas es apropiado para la transformación entre sistemas satelitales y terrestres. La adopción de un centroide provoca la disminución de la fuerte correlación entre los parámetros estimados, permitiendo interpretar más realistamente la relación entre las precisiones de los parámetros y los residuos de las observaciones.

El modelo se expresa por:

c0037

Cabe destacar que los modelos Bursa-Wolf y Molodensky-Badekas entregan resultados idénticos en la determinación final de las coordenadas.

Modelo Transformación de 4 Parámetros con centroide

Modelo de transformación que relaciona dos sistemas bidimensionales mediante 4 parámetros, dos traslaciones (TX, TY), según los ejes coordenados, un ángulo de rotación entre ellos (w) y un factor de escala (K). Basado en el mismo principio geométrico del modelo Molodensky-Badekas, el modelo 2D también puede ser reducido a un centroide (Em, Nm), principio que se adoptó en este trabajo.

c0038

c0039

ESTIMACIÓN DE PARAMETROS DE TRANSFORMACION

Habiendo sido definidos ambos modelos de transformación, 2D y 3D, se definieron los modelos estocásticos que permiten estimar los parámetros mediante técnica de Mínimos Cuadrados. En razón que ambos modelos funcionales, relacionan coordenadas, que en este caso se comportan como “observaciones”, con parámetros, el proceso debe ser desarrollado usando Ecuaciones de Observación, el modelo de ajuste queda expresado como [Gemael, 1994]:

L = F(X)

Donde:
L: vector de las observaciones,
X: vector de los parámetros.
La solución al modelo anterior se expresa como:

c0040

Donde:
Xa: vector de los parámetros ajustados,
P: matriz de pesos de las observaciones,
Lo: vector de observaciones aproximadas en función de parámetros aproximados,
Lb: vector de observaciones,

A: matriz jacobiana de diseño,

c0041

Considerando que la muestra efectiva es de 30 vértices con coordenadas conocidas, se generan 90 y 60 ecuaciones de observación, para los casos 3D y 2D resultando 83 y 56 grados de libertad, para ambos casos respectivamente.
A partir de la información obtenida del ajuste se continúa con el proceso de estimación y análisis de la bondad del ajuste, que incluye la obtención de la varianza aposteriori y las matrices de covarianzas de parámetros y coordenadas, esto último permite, además calcular coeficientes de correlación entre variables, información primordial para el análisis de dependencia versus calidad de los parámetros.

RESULTADOS MODELO 3D y 2D.

Se realizaron pruebas de estimación de parámetros, para las dos primeras regiones geográficas del país, primero en conjunto y luego cada una por separado. Posteriormente se decidió abarcar un área menos extensa con el objetivo observar las variaciones de precisiones y residuos obtenidos. En definitiva resultan cuatro áreas comprendidas de la siguiente manera:

Tabla Nº 2: División de Áreas de estudio para la Primera y Segunda Región de Chile.

Área
desde
hasta
extensión N-S aprox.
Nº vértices
R1-2
extremo norte
latitud 26,5ºS
970 km
30
R1
extremo norte
latitud 22ºS
480 km
15
R2
latitud 22ºS
latitud 26,6ºS
510 km
15
R2N
latitud 21,2ºS
latitud 23,0ºS
200 km
7

Cabe resaltar que, con el fin de comparar resultados entre modelos, la muestra de puntos considerada fue estrictamente igual en una misma área para todos los modelos.
Finalmente se presentan los valores obtenidos en la estimación de los parámetros de transformación para el modelo Molodensky-Badekas (MB), el de 4 parámetros más centroide y de Bursa Wolf (BW), con sus precisiones asociadas, ordenados por área de estudio y modelo

Tabla Nº 3: Parámetros de Transformación PSAD56 a SIRGAS, estimados para el Proyecto Piloto del Ministerio de Bienes Nacionales de Chile.

Modelo Molodensky-Badekas de 7 Parámetros
Área R1-2
Área R1
Área R2
Área R2N
Parám.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
TX:
-305.257 m
0.35 m
-298.216 m
0.32 m
-306.954 m
0.32 m
-303.299 m
0.24 m
TY:
278.485 m
0.35 m
259.531 m
0.32 m
284.475 m
0.32 m
275.337 m
0.24 m
TZ:
-358.598 m
0.35 m
-363.822 m
0.32 m
-356.698 m
0.32 m
-359.482 m
0.24 m
K:
1.000009093
0.000001175
1.000005214
0.000001825
1.000010216
0.000001894
1.000008413
0.000002275
RX:
-10.71”
0.44”
-13.87”
0.51”
-10.15”
0.41”
-13.40 ”
0.66 ”
RY:
-10.64”
0.30”
-11.73”
0.44”
-9.69”
0.56”
-10.51 ”
0.51″
RZ:
15.22”
1.01”
19.68”
0.80”
13.09”
1.10”
13.89 ”
0.66 ”
Centr.
.
.
.
.
.
.
.
.
X:
2065900 m
.
2103800 m
.
2063000 m
.
2097600 m
.
Y:
-5510100 m
.
-5615900 m
.
-5477800 m
.
-5522000 m
.
Z:
-2441700 m
.
-2165300 m
.
-2524600 m
.
-2401400 m
.

 

Modelo 2D de 4 Parámetros
Área R1-2
Área R1
Área R2
R2N
Parám.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
T(E):
-184.720 m
0.17 m
-185.040 m
0.17 m
-184.377 m
0.13 m
-184.308 m
0.17 m
T(N):
-375.933 m
0.17 m
-374.854 m
0.17 m
-375.899 m
0.13 m
-375.261 m
0.17 m
K:
1.000002965
0.000000617
0.999999133
0.000001005
1.000004561
0.000000756
1.000002254
0.000001586
w:
-0.25”
0.13”
-1.10”
0.21”
-0.31”
0.16”
-0.62
0.33”
Centr.
.
.
.
.
.
.
.
.
E:
454100 m
.
451500 m
.
462900 m
.
479400 m
.
N:
7492700 m
.
7791000 m
.
7404300 m
.
7538500 m
.

 

Modelo Bursa-Wolf de 7 Parámetros
Área R1-2
Área R1
Área R2
.
Parám.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
Valor
Desv Est.
TX:
208.466 m
31.60 m
349.851 m
34.38 m
138.172 m
24.25 m
TY:
354.167 m
13.96 m
343.903 m
16.11 m
347.142 m
15.94 m
TZ:
56.437 m
7.69 m
144.897 m
13.31 m
35.502 m
13.96 m
K:
1.000009093
0.000001175
1.000005214
0.000001894
1.000010216
0.000001825
RX:
-10.71 “
0.44 “
-13.87 “
0.41 “
-10.15 “
0.51 “
RY:
-10.64 “
0.30 “
-11.73 “
0.56 “
– 9.69 “
0.44 “
RZ:
15.22 “
1.01 “
19.68 “
1.10 “
13.09 “
0.80 “
ANÁLISIS DE RESULTADOS.

Posterior a la obtención de parámetros y su precisión, además de los residuos de las muestras, se procedió a compararlos entre modelos en una misma zona.
Siendo los modelos de distinta naturaleza, y con el objeto de comparación de residuos, se realizó la transformación de los residuos 3D (coordenadas cartesianas geocéntricas), a valores según las componentes horizontales en sentido norte-sur y este-oeste, haciéndolas comparables con sus homólogas provenientes del modelo 2D, expresados en los gráficos Nº1 a Nº 6. También se calcularon las desviaciones estándar de los residuos de las muestras, informadas en la tabla Nº7.

Tabla Nº 4, desviaciones estándar de residuos (valores en metros)

.
Área R1-2
Área R1
Área R2
Área R2N
VE
VN
VE
VN
VE
VN
VE
VN
Modelo 3D – 7 Parámetros (MB)
1.25
0.99
0.66
0.63
0.46
0.54
0.48
0.34
Modelo 2D – 4 Parámetros
0.97
0.96
0.75
0.67
0.49
0.51
0.47
0.32

Se destaca de los gráficos, la similitud de la tendencia de los residuos resultantes para una misma muestra. Lo anterior refleja la tendencia de las transformaciones, producto de ambos modelos (3D de 7 parámetros MB y 2D de 4 parámetros), a entregar resultados estadísticamente equivalentes en las coordenadas horizontales, afirmación basada también en la desviación estándar de las diferencias, del orden de 0.15 m.

Gráficos Nº1 y 2, residuos modelo de 7 y 4 parámetros, Área R1-2.
c0042       c0043

Gráficos Nº3 y 4, residuos modelo de 7 y 4 parámetros, Área R1.
c0044 c0045

Gráficos Nº5 y 6, residuos modelo de 7 y 4 parámetros, Área R2.
c0046 c0047

Gráficos Nº7 y 8, diferencia residuos modelo de 7p vs. 4p, Área R1.
c0048 c0049

Gráficos Nº9 y 10, residuos modelo de 7 y 4 parámetros, Área R2N.
c0050 c0051

Como se indicó al inicio de este trabajo se utilizaron vértices de I, II y III orden para la estimación de los Parámetros de Transformación, en los gráficos que ilustran los residuos obtenidos por los diferentes modelos y áreas se observa la tendencia de vértices a entregan valores fuera de la normalidad, con residuos fuera del intervalo de 95% de confianza. Al confrontar estos sus respectivos órdenes, se verificó que en torno del 80% corresponde a vértices de III orden.

Validacion de los Parametros de Transformacion

Del total de vértices disponibles se reservaron seis de ellos como control, estos fueron desplegados en el programa ArcMap.

c0052
Figura Nº 3: Distribución geográfica de vértices de control

La siguiente tabla expresa las diferencias obtenidas para cada vértice una vez aplicando los diferentes conjuntos de PT. Estos valores pueden ser considerados como el error en coordenadas planimétricas.

Tabla Nº 5: diferencias de coordenadas en puntos de control (valores en metros)

Vert.
Área R1-2
Área R1
Área R2
7P MB
4P
7P MB
4P
7P MB
4P
eX
eY
eX
eY
eX
eY
eX
eY
eX
eY
eX
eY
SBTC (3)*
1.42
0.15
0.45
0.07
-0.29
-0.93
-0.43
-0.94
.
.
.
.
RAUL (2)
-1.33
-0.92
-1.02
-0.93
-0.53
-0.28
-0.53
-0.26
.
.
.
.
MOCT (2)
-1.29
-0.15
-0.75
-0.20
.
.
-0.47
0.31
-0.44
0.29
SPAN (1)
-0.66
-0.93
-0.09
-1.06
.
.
0.23
-0.61
0.33
-0.56
SFRE (1)
-0.27
0.26
0.29
0.00
.
.
0.58
0.47
0.76
0.45
ASMO (1)
-0.87
0.06
-0.54
-0.25
.
.
-0.18
0.19
-0.05
0.08

( ) * Orden en precisión

Aplicación en Sistema de Información Geográfica

Para ilustrar una forma practica de aplicación, se configuró ArcGis v9.1 con los 7 parámetros obtenidos mediante el modelo de BW y con 3 traslaciones obtenidas del modelo de MB. En ArcGis el método denotado por “Method Molodensky” considera sólo tres traslaciones.

c0053 c0054
Figura Nº 4: Configuración de 7 y 3 Parámetros de Transformación en ArcGis v9.1

Diferencia entre coordenadas transformadas con 7 y 3 parámetros en vértice SPAN.

Tabla Nº 6: diferencias de coordenadas en vértice SPAN (valores en metros)

Vértice
7 PT BW
3 PT (Traslaciones)
eX
eY
eX
eY
27 (SPAN)
0.60
0.75
1.36
0.57

c0055
Figura Nº 5: diferencias vértice 27 (SPAN)

En general se aprecia que el empleo de sólo 3 parámetros degrada en exceso la posición en distancia respecto del control en una proporción promedio de 2:1.

CONCLUSIONES.

Respecto de la precisión esperada.

Cabe hacer notar que, basados en el principio de propagación de errores, la calidad final del proceso de estimación y residuos resultantes, estará limitado por la calidad de los datos involucrados, es decir, no será mejor que la precisión de la muestra.

Respecto de los residuos de la muestra.

Basado en la tabla nº 9 y los gráficos nº 1 a 10 se concluye que la precisión promedio obtenida mediante ambos modelos, varia desde el orden de 1 metro para una extensión aproximada de 970 km, hasta 0.5 metros para extensiones de 200 km. Este último valor puede ser considerado en la práctica como limite de precisión en virtud de la densidad de la muestra, resultando para áreas menores a aproximadamente 200 km, resultan insuficientes grados de libertad para la estimación de los PT mediante Mínimos Cuadrados.

Respecto de los modelos de transformación.

Aplicados los dos modelos, 3D Molodensky-Badekas y 2D de Similaridad, entre PSAD56 y SIRGAS para cuatro áreas diferentes, basado en los mismos vértices, los resultados a las coordenadas planimétricas (Este y Norte) fueron estadísticamente iguales, conduciendo al mismo resultado práctico.

Respecto de la precisión de los parámetros de transformación.
La precisión resultante para los parámetros son acordes con los residuos obtenidos de las coordenadas transformadas, en ambos modelos, es decir, las traslaciones, rotaciones y factor de escala, son del mismo orden de magnitud para cada tamaño de área considerada.

Respecto de la influencia de la altura ortométrica.

Considerando que los datos altimétricos son de distinta naturaleza en ambos sistemas considerados (elipsoidal en SIRGASy ortométricas en PSAD56), estas diferencias introducen una tendencia en los parámetros de transformación, consecuentemente en los residuos de las coordenadas cartesianas geocéntricas transformadas, pero no así en sus proyecciones planimétricas. Dicho de otra forma, las indeterminaciones de las componentes verticales, en ambos sistemas, no afectan las coordenadas horizontales.

Respecto de la aplicación de los parámetros.

La aplicación efectiva de los parámetros fue realizada en ArcGis v9.1 para 7 y 3 parámetros (Bursa-Wolf y Molodensky respectivamente) confirmando que las diferencias de coordenadas de los puntos de control (tabla N°5) se mantienen en la aplicación en ordenes similares.

Ha quedado momentáneamente pendiente, en virtud del espacio y tiempo disponible para este trabajo, el estudio de los testes estadísticos a la varianza a posteriori del ajuste y la normalidad de la muestra, así como la determinación de las elipses de errores de las coordenadas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Fuente:

René Zepeda G. – Universidad Tecnológica Metropolitana; César Ocares B. – Ministerio de Bienes Nacionales; Diego Ortiz J.; Diego Ortiz J.

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