Fototriangulación por el Método de Fajas Perspectivas

Este trabajo presenta como especificación el desarrollo y pruebas de un modelo matemático para Fototriangulación por el método de fajas perspectivas. El objetivo principal es hacer accesible el conocimiento sobre los principios matemáticos y los métodos envueltos en esta técnica. El modelo sugiere algunas innovaciones en la forma de numeración de los puntos de control y fotogramétricos (contenidos en las imágenes fotográficas que componen el bloque a ser ajustado), en la obtención de las aproximaciones iniciales para los parámetros (necesarias a la solución del sistema de ecuaciones formado para el ajuste), y en la formación de la matriz de los pesos.

Fueron hechas pruebas con imágenes en diferentes resoluciones geométricas y los resultados fueron comparados con procesos ejecutados en softwares comerciales. Los resultados la que se llegó demostraron la eficiencia del modelo y la angosta correlación con los modelos matemáticos utilizados en las soluciones comerciales.

1.- Introducción.

Este trabajo integra el desarrollo de la estación fotogramétrica digital educativa, Proyecto E-Foto, que tiene por objetivo hacer accesibles la realización del proceso fotogramétrico y los algoritmos que lo posibilitan a través de un sistema computacional de código abierto y gratuito. Uno de los componentes del sistema es el módulo de Fototriangulación.

La recesión espacial es el proceso por lo cual se obtiene las coordenadas del centro de perspectiva y los ángulos de actitud del sensor en el instante de la adquisición de la imagen. La intersección espacial posibilita la obtención de las coordenadas tridimensionales de un punto cualquiera en el espacio objeto (terreno), a partir de sus coordenadas bidimensionales obtenidas en el espacio imagen. La Fototriangulación es la realización de la recesión espacial y de la intercesión espacial en un único proceso (Mikhail et al., 2001). El método de las fajas perspectivas permite que la Fototriangulación sea ejecutada para todas las imágenes que componen el espacio imagen y para todos los puntos fotogramétricos contenidos en estas imágenes en un único proceso. El modelo aquí descrito fue concebido para aplicación en imágenes obtenidas con cámaras fotogramétricas aéreas.

2.- Modelo Matemático.

La Fototriangulación por el método de las fajas perspectivas permite la reconstrucción óptima de la geometría de los fajas de rayos luminosos formadores del espacio imagen en el momento de la adquisición de las imágenes fotográficas. El proceso se vale del Método de los Mínimos cuadrados – MMQ – para minimizar la función que cuantifica el desvío – patrón del ajuste, de forma que cada rayo ajustado, originándose en una posición cualquiera del espacio objeto, pase lo más próximo posible de su homologo en el espacio imagen y del centro de perspectiva de la imagen (figura 1).

c0102
Figura 1 – Colinearidad entre los puntos en los espacios imagen y objeto

Esta condición de colinearidad puede ser expresada por las ecuaciones (1) y (2):

c0103

c0104

Donde:

c – distancia focal calibrada (mm);
x, h – coordenadas del punto en el espacio imagen (mm);
x0, h0 – coordenadas del punto principal (mm);
X, Y, Z – coordenadas del punto en el espacio objeto (m);
X0, Y0, Z0 – coordenadas del centro de perspectiva (m);
rnm – elemento de la matriz de rotación entre los sistemas XYZ y X’Y’Z’

La matriz de rotación (Graus, 2000) incorpora los ángulos w, f y k, llamados ángulos de actitud que, justamente con X0, Y0 y Z0, forman los parámetros de orientación externa, a que sean obtenidos en el ajuste.
También serán obtenidas las coordenadas de terreno X, Y y Z para los puntos fotogramétricos. Las funciones de colinearidad, a pesar de que describan una recta, no son lineales, pues combinan parámetros lineales y angulares. El proceso de ajuste ocurrirá entonces, por la utilización del MMQ combinado a la Matriz Jacobiana de forma interactiva. Para esto, son necesarias aproximaciones iniciales de los valores de las incógnitas y, cada paso del proceso, los valores alcanzados para las incógnitas w, f, k, X0, Y0, Z0 para la orientación externa y X, Y, Z para los puntos fotogramétricos, estarán más próximos del valor verdadero y serán reintroducidos como parámetros, hasta que las diferencias a minimizar estén dentro del límite deseado.

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Fuente:

Francisco José da Cunha Silveira y Jorge Luís Nunes e Silva Brito – Universidade do Estado do Rio de Janeiro

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